Modélisation et analyse de réseaux à grande échelle pour agents mobiles

La théorie de la percolation fait l'objet d'études approfondies depuis environ cinquante ans dans des contextes discrets et continus [3,5], motivées à la fois par ses nombreuses applications en physique, en science des matériaux, en géologie, etc., et par sa pure beauté mathématique. La théorie de la percolation décrit une image statique, même si le cadre sous-jacent peut évoluer dans le temps. Cependant, des applications récentes telles que les connexions à longue distance dans les réseaux de communication sans fil avec des utilisateurs mobiles ou la circulation d'informations/la propagation de rumeurs dans les réseaux sociaux en évolution, dans lesquelles la percolation prend tout son sens, manifestent un aspect dynamique qui ne peut être négligé. C'est précisément l'objectif de la présente proposition : étudier les réseaux aléatoires qui sont à la fois géométriques et dynamiques, et examiner leurs propriétés de connectivité qui (d'un point de vue mathématique) peuvent être exprimées dans un cadre de percolation. En effet, les modèles de réseaux de communication sans fil ainsi que les réseaux sociaux et collaboratifs peuvent être interprétés comme des graphes (aléatoires) à grande échelle dans lesquels les sommets peuvent représenter soit des utilisateurs de téléphones portables, soit des stations de base, soit des comptes de réseaux sociaux, soit des pages Wikipédia, etc. Afin de construire des réseaux plus fiables, plus efficaces et plus résilients, il devient essentiel de mieux comprendre comment leurs propriétés de connectivité dépendent de leur structure géométrique et comment elles évoluent dans le temps.

En raison du développement de l'Internet des objets (IoT) et de l'apparition des véhicules autonomes, il existe une demande croissante pour un échange de données rapide et fiable dans les systèmes de communication impliquant des appareils mobiles. Dans ce contexte, la communication de dispositif à dispositif (D2D) est considérée comme l'un des concepts clés qui imprègne un ensemble très diversifié de cas d'utilisation. L'étude de la connectivité des réseaux de télécommunication sous l'angle de la percolation a suscité beaucoup d'intérêt ces dernières années (voir par exemple [1,2,4]). Cependant, la plupart d'entre elles ne tiennent pas compte (de manière réaliste) de la mobilité des utilisateurs de ces réseaux. Ce projet vise à combler cette lacune en proposant des modèles réalistes et de nouveaux outils mathématiques pour étudier leurs propriétés de connectivité.

Dans un réseau D2D, la propagation du signal à travers des chaînes d'utilisateurs (proches) peut être naturellement interprétée en termes de percolation. Ainsi, une connexion à longue portée dans un réseau D2D correspond à l'apparition d'un groupe illimité d'utilisateurs connectés. Une image précise des différents régimes de percolation a été donnée dans [2] pour un réseau D2D avec des utilisateurs statiques dans un milieu urbain (modélisé par une triangulation de Delaunay). Comprendre comment se comporte la connexion à longue portée dans un tel réseau lorsque les utilisateurs sont désormais autorisés à se déplacer dans le milieu urbain est une question très naturelle et stimulante. Dans [6], les auteurs étudient un modèle booléen de Poisson sur Rd où les centres se déplacent selon des trajectoires indépendantes et affirment que si la percolation se produit au temps t=0, cela reste vrai au fil du temps. Nous visons à étendre ce résultat de percolation dynamique aux cas où les centres (c'est-à-dire les utilisateurs) ne sont plus indépendants, soit parce qu'ils sont conditionnés à évoluer dans un milieu urbain (aléatoire), soit parce qu'une interaction entre eux a été introduite dans la dynamique. Une autre question pertinente qui n'est pas traitée dans [6] concerne l'unicité du cluster illimité au fil du temps.

Enfin, sur le plan numérique, la simulation des modèles dynamiques nouvellement développés ainsi que leur validation par rapport aux données expérimentales présenteront bien sûr un grand intérêt.